说在前面的话

平时大家认为看起来高逼格的表情包都有哪些呢？我觉得“极限表情包”应该算是其中比较核心的成员了，所以本着无论是看懂别人的“极限表情包”，还是想将“极限表情包”发给别的小伙伴展示你深厚的数学功底，本文针对“极限表情包”展示了完整的求解过程，并附上对应的理论依据。

以表情包为载体的极限题

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推导过程如下

$\begin{aligned} &\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\ln(\int_{0}^{\sqrt[3]{x^2}}e^{\frac{1}{2}x^2}dx+1-x^{\frac{2}{3}})} \\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\int_{0}^{x^\frac{2}{3}}e^{\frac{1}{2}x^2}dx-x^{\frac{2}{3}}} \\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{e^{\frac{1}{2}(x^{\frac{2}{3}})^2}\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}}\\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(e^{\frac{1}{2}x^{\frac{4}{3}}}-1)}\\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}x^\frac{4}{3})}\\ &=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{\frac{1}{3}x}\\ &=6 \end{aligned}$

其中

第1行到第2行利用了当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)\sim x$；

第2行到第3行利用了洛必达法则以及求变上限积分；

第4行到第5行采用了当$x\rightarrow 0$时，$e^{x} -1\sim x$；

综上所述，最终的计算结果为6。

附录A

A.1 等价无穷小

当$x\rightarrow x_0$时，若$f(x)\rightarrow 0，g(x)\rightarrow0$，且$\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow0$，则称$f(x)$和$g(x)$为当$x\rightarrow x_0$时的等价无穷小，记做$f(x)\sim g(x)$。

当$x\rightarrow 0$时，常见的等价无穷小有

$\begin{cases} \sin x \sim x\\ \tan x \sim x\\ \ln(1+x) \sim x\\ e^x-1\sim x\\ a^x-1\sim x\ln a\\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2\\ (1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x \end{cases}$

A.2 变限积分求导

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们知道如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么有

$\begin{aligned} \int_{a}^{b}f(t)dt=F(a)-F(b) \end{aligned}$

我们固定$a$，令$b=x$，两边同时对$x$求导得

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\{\int_{a}^{x}f(t)dt\}&=\frac{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}\\ &=f(x) \end{aligned}$

令$\varphi(x)=\int{a}^{x}f(t)dt$根据上述公式，我们可以得到$\varphi’(x)=f(x)$。若$b=g(x)$，令$h(x)=\int{a}^{g(x)}f(t)dt$，那么根据上述推导以及复合函数求导的链式法则，可以得到

$h'(x)=\varphi'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$

同理，我们令$a=q(x)$，令$h(x)=\int_{q(x)}^{g(x)}f(t)dt$，那么根据上述推导以及复合函数求导的链式法则，可以得到

$h’(x)=f(g(x))g’(x)-f(q(x))q’(x)$

A.3 洛必达法则

若当$x\rightarrow x_0$时，满足

(1) 满足$\frac{0}{0}$或者$\frac{\infty}{\infty}$型；

(2) $f(x)$，$g(x)$在$x_0$去心邻域内可导，且 $g'(x)\neq 0$ ；

(3) $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f’(x)}{g’(x)}=a$，其中$a$是有限的实数或无穷；

那么有

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a$